Unidad 8

Sistemas axiomáticos 

Les ofrecemos primero una breve síntesis y luego, como siempre, los videos del profesor Prebble.

a)    Lenguaje formal
a1) Términos:
1)    Primitivos: se eligen convencionalmente y no se definen
2)    Definidos: se definen a partir de los términos primitivos aplicando reglas de definición

(Es  decir  que  las  ciencias  formales  no  tienen  términos  observacionales  y  teóricos,  sino  primitivos  y definidos.)

a2) Reglas de formación de fórmulas
Son las normas sintácticas del sistema, que determinan cómo deben combinarse los términos del lenguaje formal

Con a1) y a2) se obtienen: Fórmulas bien formuladas (FBF), que serán los enunciados del sistema.

b)    Una vez diseñado el lenguaje formal, se puede formar el sistema axiomático, que consiste en:
Axiomas: enunciados convencionalmente elegidos como verdaderos.
Teoremas: enunciados que se deducen de los axiomas y que son, por lo tanto, también verdaderos.

Atención: se trata del concepto de verdad lógica, que es diferente de la verdad fáctica propia de las ciencias fácticas. La verdad lógica se establece, en el caso de los axiomas por convención (es decir, por una decisión arbitraria) y en el caso de los teoremas por deducción a partir de los axiomas.

Consecuencia de lo anterior: no existen axiomas falsos ni teoremas falsos. Cuando un enunciado no es axioma ni teorema es falso dentro del sistema.

PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS AXIOMÁTICOS

Consistencia: es la propiedad fundamental de un sistema axiomático. Implica ausencia de contradicción. Si un sistema es consistente, no se puede deducir un teorema y, a la vez, la negación de ese mismo teorema. Es la propiedad más importante porque si un sistema no la cumple, al aplicarlo a las ciencias fácticas se obtendrán falsedades (fácticas, no podrían ser formales).

Inconsistencia: cuando al menos dos axiomas se contradicen entre sí, el sistema es inconsistente porque en ese sistema se podrá deducir un teorema y, a la vez, la negación de ese mismo teorema. Si un SA es inconsistente, no puede tener modelo.

Independencia: cuando ningún axioma se puede deducir como teorema, el sistema es independiente.

Dependencia: cuando por lo menos un axioma se deduce de otro el sistema es dependiente.

Completitud: cuando, para cada FBF se puede decidir si ella misma es teorema o bien es teorema su negación (solo en el caso de los sistemas inconsistentes, ambas serían teoremas).

Incompletitud: existe por lo menos una FBF que no es teorema ni ella misma ni su negación.

APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS AXIOMATICOS A LAS CIENCIAS FÁCTICAS: INTERPRETACIÓN

Interpretar un sistema implica asignarle a sus términos un contenido fáctico (por eso se denomina otorgarle correlato fáctico, porque pone en correlación a los términos con hechos del mundo).

Si tengo, por ejemplo, un axioma que dice: Todos los R se relacionan con más de 3 P, interpretarlo sería:

R: alumno de nuestra comisión
P: respuestas correctas en el primer parcial de IPC
relacionarse con: responder

Así, el axioma interpretado diría: “Todos los alumnos de nuestra comisión respondieron más de 3 respuestas correctas en el primer parcial de IPC

Cuando una interpretación no tiene enunciados falsos se denomina MODELO del sistema axiomático. Y sólo si un sistema axiomático es consistente puede tener modelos (no significa que siempre los tenga, sino que puede tenerlos).

Atención: un sistema interpretado, como tiene contenido fáctico, forma parte de las ciencias fácticas y no de las formales. 

Parte 1

Parte 2

Clase virtual sobre la Unidad 8. 

Compartimos el link a la grabación de la clase.
Y el link a la presentación vista durante la clase.

Respuestas Guía de actividades Unidad 8